Quaternionen

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Quaternionen sind komplexen Zahlen und hyperkomplexen Zahlen ähnlich, allerdings ist die Multiplikation nicht kommutativ (vertauschbar) .
Sie haben 3 Imaginärteile, die im folgenden mit den Buchstaben j, k und l markiert werden.
Der Realteil hat bei dieser Schreibweise keine Markierung.

Die Multiplikation zwischen den Imaginärteilen ist wie folgt definiert.




Multiplikation:

<--vgl. Hyperkomplex

Division:

Addition zweier Quaternionen:

Subtraktion:

Konjugiert:

Betrag:

Inverse

Einheitsquaternion

Formulierung einer räumlichen Drehung:
   entspricht dem Winkel um den gedreht wird.
   entspricht der Achse um die gedreht wird.
Potenz

Darstellung als komplexe 2x2-Matrix

Darstellung als reelle 4x4-Matrix


Anwendung finden die Quaternionen heute hauptsächlich in der Computergrafik, da sich mit Ihnen Drehungen im Raum darstellen lassen.

Außerdem werden sie noch in der Quantenmechanik bei der Beschreibung von Spins verwendet.
Hierbei setzt man statt der Markierungen die Pauli-Spinmatrizen:
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